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读书笔记:《从一到无穷大》(七)无穷大的比较

于2020-03-28发布

我们在之前讨论了一些非常大的数字,尤其是最后的“无限猴子打字机”所需要的时间已经大的超乎想象。但即使如此,它们依然是有限的,只要有足够的时间,总能将它数到最后一位。

但是世界上还存在着一些真正是无穷大的数字,无论花费多长时间都写不完。比如自然数的个数、全体整数的个数等。那么我们如何来比较既无法数清又无法描述的两个无穷大谁更大一些呢?

首先我们把思路回到之前提过的霍屯督人,由于他们最多只能数到3,所以任何大于3的数字对他们来说都是无穷大。假设他们想清点自己的财产,而财产中有一些玻璃珠和一些铜币,那么如何得知这些玻璃珠和铜币哪个更多呢?其实,他们可以将玻璃珠和铜币拿出来一一比较,在一个玻璃珠旁边放上一枚铜币,作为一组,这样一直放下去,如果最后玻璃珠先用完了就说明铜币多一些,如果铜币先用完了,就说明玻璃珠多一些,如果同时用完,就说明玻璃珠和铜币一样多。

我们比较两个无穷大数的方法也与此类似,这就是康托尔提出的:我们可以将两组无穷大数进行配对,一个集合里的一个元素对应另一个集合里的一个元素,如果最后它们正好一一对应,任何一个集合都没有多余的元素,那么就说明这两个无穷大的是一样大的;如果它们无法一一对应,也就是在某个集合中存在剩余的元素,那么这个集合的无穷大就更大一些。

我们来举一个例子,在全体自然数中偶数的个数与全体自然数中奇数的个数,哪个更多一些呢?我们可以按照康托尔的方法,将他们进行如下配对:

全体自然数中的奇数与全体自然数中的偶数配对示意图

我们可以看出,全体自然数中,任何一个奇数都可以与它本身减一的偶数进行配对,不重不漏,所以我们可以说,全体自然数中偶数的个数和全体自然数中奇数的个数是相同的。或许你觉得这很正常,但下面的一个结论一定会让你感到意外的。全体自然数的个数和全体自然数中偶数的个数哪个更多一些?如果你觉得自然数更多一些,那你就错了。我们来做如下配对:

全体自然数与全体自然数中的偶数配对示意图

在全体自然数中的任何一个数,都可以与它本身的二倍的偶数进行配对,也可以做到不重不漏,所以全体自然数的个数与全体自然数中偶数的个数是相同的。这听上去很矛盾,因为偶数只是自然数的一部分,但我们必须记住,在无穷大的世界中,部分是可能等于整体的,所以我们只能做好准备,直面它们的古怪特性。如果你喜欢我的文章,欢迎在博客中点赞和评论,浏览器访问:博客.卅卅.我爱你,就能看到我的博客哦~

(正文完)

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2条评论

- 2020-03-30 21:01:16

这么久才发文章,刚从男闺蜜的阴影中走出来?

匿名 - 2020-03-28 16:09:12

无穷大的世界很奇妙~

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