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读书笔记:《从一到无穷大》(十)正方形上点的个数

于2020-07-13发布

之前我们介绍了一些无穷大数,比如全体整数的个数、全体自然数的个数,以及比它们更大的全体实数的个数、线段上点的个数等。接下来我们再分析一下正方形上的点的个数。

我们假设有一个边长为1米的正方形,很显然在这个正方形上有无穷多个点,那么这个正方形上的点的个数与一个1米长的线段上的点的个数哪个更多呢?如果你认为平面上的点多一些,那你就又错了。对于1米长线段上的点,我们可以用这个点到一个端点的距离(即1个0-1之间的实数)来表示,而对于边长为1的正方形,我们可以用这个点到正方形两条互相垂直的边的距离(即2个0-1之间的实数)来表示。接下来,我们可以按照康托尔提出的比较无穷大的方法将从线段上得到的一个实数以及从正方形上得到的两个数字按照如下规则进行配对:对于线段上的任何一个点表示的数字,例如0.75120386…都可以取出小数点后的全体奇数位数字和小数点后全体偶数位数字组成两个新数字,在这个例子中为0.7108…和0.5236…那么这两个数字就可以用来表示正方形上的点对应的两个数字。根据这个关系我们可以看出来在线段上的任何一个点在正方形中都有一个点与其对应,反过来,正方形上的任何一个点在线段上也都有一个点与其对应,两者都不重不漏。所以可以得出结论:边长为1米的正方形上的点的个数与长度为1米的线段上点的个数相同。

到现在为止,我们已经找到了两种大小的无穷大,一种是与全体整数个数相同的无穷大,另一种是与线段上点的个数相同的无穷大。但事实上科学家们已经发现所有曲线(比如正弦线、抛物线、双曲线以及各种奇怪的曲线等等)的种类是一个比线段上点的个数更大的无穷大。康托尔提出,我们可以用希伯来字母aleph来描述无穷大的数字,aleph0表示与全体整数个数相同的无穷大,aleph1表示与线段上全体点的个数相同的无穷大,aleph2表示与全体曲线的种类数量相同的无穷大。截至目前,人们还没有找到比aleph2更大的无穷大。

思考题

一个棱长为1米的正方体上的点的个数与长为1米的线段上的点的个数哪个更多一些?

(正文完)

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