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读书笔记:《从一到无穷大》(十一)是否存在最大的质数?

于2020-07-15发布

在前面的章节中我们一直在研究大数直到无穷大,从本章节开始,我们要讨论数学中专门研究数字的分支,数论。在数论中的某些命题已经得到了数学上的证明,但仍有一些问题还停留在猜想的阶段,这些问题正等着杰出科学家去证明。接下来的几个章节中,我们以质数为例,说明一下。

质数是除了它本身和1以外没有其他约数的正整数,如果一个正整数除了1和它本身外,还有其他约数则称为合数,但这里有一个例外,就是数字1既不是质数也不是合数。比如数字2,3,5,7,11,13,17等都是质数,因为它们都只有1和本身两个约数,而数字6就是合数,因为它可以写成2和3的乘积。任何一个合数都能分成至少2个质数的乘积。

那么究竟有多少个质数,是否存在一个最大的质数呢?最先提出这个问题的人是欧几里得,他采用了反证法来证明了这个问题,接下来,我们就研究一下这个证明过程。

首先,我们假设质数的个数是有限的,分别是2,3,5,7,…,N,那么数字N就是最大的质数。我们再令m为2,3,5,7,…,N的乘积再加1。那么我们首先可以确定m一定是一个大于N的数字,根据假设,N是最大的质数,所以m一定是合数,也就是说2,3,5,7,…,N这些数字中,一定有m的约数,但由于m是2,3,5,7,…,N的乘积再加1,所以2,3,5,7,…,N这些数字中任何一个数字都不是m的约数。现在我们就可以看出来这里面的矛盾了,那么矛盾的来源就是我们最初的假设:质数的个数是有限的。所以,我们可以得到结论,质数的个数是无限多的,并不存在最大的质数。

既然质数有无限多个,那么有没有什么方法将所有的质数按照顺序一个不漏的列出来呢?古希腊哲学家暨数学家埃拉托斯特尼首次提出了这个问题的解决办法,称为筛选法,我们将在下一章节中介绍。

(正文完)

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1条评论

匿名 - 2020-07-29 11:03:26

之前我还真从来没想过有没有最大的质数这个问题。

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